Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，a，b，给出下列说法：
（1）若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在；
（2）若A≥90°，则此三角形最多有一个解；
（3）若A＜90°，a＜b时三角形不一定存在；
（4）若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°；
（5）若A＜90°，且bsinA＜a≤b时，三角形有两解．
其中正确说法的序号是（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 由已知的A，a，b，根据正弦定理表示出sinB，
（1）由A为钝角或直角，得到B一定为锐角，即A大于B，根据大角对大边可得a大于b，与已知的条件a小于等于b矛盾，故此三角形不存在，本选项正确；
（2）把A，a及b的值代入表示出的sinB，确定出sinB的值，由A为钝角或直角，得到B为锐角，故B的角度只有一解，本选项正确；
（3）当A=60°，a=1，b=3，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3×sin60°}{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}＞1$，此三角形不存在，本选项正确；
（4）由A为锐角，把a=bsinA代入表示出的sinB中，得到其值为1，根据B为三角形的内角，可得出B为直角，从而得到三角形为直角三角形，本选项正确；
（5）取一个特例：a=b时，A=B，由A为锐角，得到B也为锐角，此三角形只有一解，本选项错误．

解答 解：由A，a，b已知，根据正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，
（1）若A≥90°，根据大角对大边得a＞b，故a≤b时，此三角形不存在，本选项正确；
（2）由A≥90°，根据大角对大边得a＞b，进而得到B为锐角，即此三角形最多有一解，本选项正确；
（3）当A=60°，a=1，b=3，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3×sin60°}{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}＞1$，此三角形不存在，本选项正确；
（4）若A＜90°，且a=bsinA，得到sinB=1，由B为三角形的内角，得到B=90°，此三角形为直角三角形，本选项正确；
（5）当a=b时，A=B，此三角形为等腰三角形，只有一解，当A＜90°，且bsinA＜a≤b时，三角形不一定有两解，本选项错误，
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评 此题考查了正弦定理的应用，正弦函数的值域以及三角形的边角关系，要说明一个命题是真命题，必须经过严格证明，要说明一个命题为假命题，只需举一个反例即可，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，本题属于中档题．