Question

9．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，已知a²+bc=c²+b²．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若b=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （I）由a²+bc=c²+b²，利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即可得出．
（II）路面积计算公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，解得c．利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：（I）由a²+bc=c²+b²，可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×csin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴c=4．
∴a²=b²+c²-2bccosA=1+16-8×$\frac{1}{2}$=13，
∴a=$\sqrt{13}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．