Question

4．（1）求函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调区间；
（2）设A_n=nⁿ⁺¹，B_n=（n+1）ⁿ（n∈N^*）．
①实验：分别就n=1，2，3，4，比较A_n与B_n的大小；
②根据①的实验结果猜测一个一般性结论，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）①n分别取1，2，3，4，从而比较出大小；②由①猜想：当n≥3且n∈N⁺时，A_n＞B_n，分别采用函数的单调性或数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增；
（2）①当n=1时，A₁=1，B₁=2，A₁＜B₁，
当n=2时，A₂=8，B₂=9，A₂＜B₂，
当n=3时，A₃=81，B₃=64，A₃＞B₃，
当n=4时，A₄=1024，B₄=625，A₄＞B₄，
②由①猜想：当n≥3且n∈N⁺时，A_n＞B_n，
证明如下：
方法（一）：由（1）f（x）在区间（e，+∞）单调递减，
n≥3时，f（n+1）＜f（n），即$\frac{ln（n+1）}{n+1}$＜$\frac{lnn}{n}$，
∴nln（n+1）＜（n+1）lnn，
∴ln（n+1）ⁿ＜lnnⁿ⁺¹，
∴（n+1）ⁿ＜nⁿ⁺¹，即B_n＜A_n，
∴当n≥3且n∈N⁺时，A_n＞B_n，
方法（二）：用数学归纳法证明：
1°：当n=3时成立，
2°：设n=k（k≥3，k∈N⁺）时，猜想成立，即有k^k+1＞（k+1）^k①，
则n=k+1时，由①得：$\frac{{k}^{k+1}}{{（k+1）}^{k}}$＞1，
又（k+1）²＞k（k+2），即$\frac{k+1}{k+2}$＞$\frac{k}{k+1}$，
∴$\frac{{（k+1）}^{k+2}}{{（k+2）}^{k+1}}$=${（\frac{k+1}{k+2}）}^{k}$•$\frac{{（k+1）}^{2}}{k+2}$＞${（\frac{k}{k+1}）}^{k}$•$\frac{k（k+2）}{k+2}$=$\frac{{k}^{k+1}}{{（k+1）}^{k}}$＞1，
∴（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即A_n+1＞B_n+1，
∴n=k+1成立，
∴综合1°，2°当n≥3且n∈N⁺时，A_n＞B_n．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题．