Question

12．设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜4）
（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）当a=1时，若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a-4|=3，由此求得a的值．
（2）由题意可得|x-4|+|x-1|+m≠0恒成立．由于|x-4|+|x-1|≥3，可得3+m＞0恒成立，由此求得m范围．

解答 解：（1）∴函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|a-4|，∴|a-4|=3，求得a=7（舍去）或 a=1．
（2）当a=1时，若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$=$\frac{1}{|x-4|+|x-1|+m}$  的定义域为R，
∴|x-4|+|x-1|+m≠0恒成立．
由于|x-4|+|x-1|≥3，∴3+m＞0恒成立，m＞-3．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．