Question

1．（1）求直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$与圆ρ=2ccosθ（c＞0）相切的条件；
（2）求曲线θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ²=2cρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．
（2）曲线θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．利用扇形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）直线$ρ=\frac{1}{acosθ+bsinθ}$，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ²=2cρcosθ，
化为x²+y²=2cx，配方为：（x-c）²+y²=c²．可得圆心（c，0），半径r=c．
∵直线与圆相切，
∴$\frac{|ac-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=c，化为b²c²+2ac=1．
（2）曲线θ=0，$θ=\frac{π}{3}（{ρ≥0}）$和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．
∴$S=\frac{1}{2}×{4}^{2}×\frac{π}{3}$=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查了圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．