Question

13．在△ABC中，角A，B，C成单调递增的等差数列，a，b，c是的△ABC三边，$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则c-a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{4}）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理可得B=60°，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin60°}=1$，从而化简可得c-a=cos（A+$\frac{π}{6}$），根据范围0$＜A＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{2}$，从而利用余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵角A，B，C成单调递增的等差数列，
∴可得：2B=A+C，可得B=60°，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin60°}=1$，
∴c-a=sinC-sinA=sin（120°-A）-sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA$=cos（A+$\frac{π}{6}$），
∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{2}$，
∴c-a=cos（A+$\frac{π}{6}$）∈$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．