Question

14．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c且cosB=$\frac{3}{5}$，b=2
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosB=$\frac{3}{5}$，B∈（0，π），可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，再利用正弦定理即可得出．
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=3，可得ac=$\frac{15}{2}$．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{3}{5}$，B∈（0，π），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sin3{0}^{°}}=\frac{2}{\frac{4}{5}}$，
∴a=$\frac{5}{4}$．
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}ac×\frac{4}{5}$=3，
∴ac=$\frac{15}{2}$．
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2ac×$\frac{3}{5}$=4，
∴（a+c）²=$\frac{16}{5}×\frac{15}{2}$+4=28，
故：a+c=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．