Question

3．在△ABC中，∠A=120°，AC=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，O为BC的中点，则AO=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 9

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理求得BC，得到OB，再由正弦定理求得sinB，结合平方关系求得cosB，然后在△AOB中由余弦定理得答案．

解答 解：如图，
∵∠A=120°，AC=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{21}$．
∴OB=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
又$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，得$\frac{\sqrt{3}}{sinB}=\frac{\sqrt{21}}{sin120°}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，则cosB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
则AO=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OB•cosB}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{21}}{2}）^{2}-2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{21}}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{14}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属中档题．