Question

12．如图所示，质点A从坐标原点O开始沿箭头所指方向作规则运动，每次只运动一个单位，相应的质点的坐标记为A_n，如A₁（0，1），A₂（1，1），A₃（1，0），A₄（1，-1），…，则A₂₀₁₅的坐标为（　　）

• A． （-21，12）
• B． （-22，12）
• C． （-21，13）
• D． （-22，13）

Answer 1

分析 由已知条件推导出以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点a_n=8n个，且最后一个格点为（-n，n），由前n个正方形上格点的总数：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=$\frac{n（8n+8）}{2}$≥2015，得n≥22．由此能求出第2015个格点A₂₀₁₅坐标

解答 解：以O为中心，边长为2的正方形上共有格点a₁=8个，
且最后一个格点为（-1，1）；
以O为中心，边长为4的正方形上共有格点a₂=16个，
且最后一个格点为（-2，2）；
以O为中心，边长为6的正方形上共有格点a₃=24个，
且最后一个格点为（-3，3）；
…
以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点a_n=8n个，
且最后一个格点为（-n，n），
由前n个正方形上格点的总数：
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=$\frac{n（8n+8）}{2}$≥2015，
得n≥22．
当n=22时，前22个正方形上格点的总数S₂₂=$\frac{22×（176+8）}{2}$=2024，
且第22个正方形（边长为44）上的最后一个格点为A₂₀₂₄（-22，22），
故第2015个格点A₂₀₁₅坐标为（-22，13）．
故选：D

点评 本题考查第2015个格点A₂₀₁₅坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意归纳法和等差数列前n项和公式的合理运用．