Question

7．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=4，c=3，D为BC的中点，求AD的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，由sinA≠0，解得tanB=$\sqrt{3}$，又B为三角形的内角，即可解得B的值．
（Ⅱ）由D为BC的中点，可得BD=2，在△ABD中，利用余弦定理即可解得AD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵bsinA=$\sqrt{3}$cosB．
∴由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵sinA≠0，
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，即tanB=$\sqrt{3}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=60°…5分
（Ⅱ）∵a=4，c=3，
∵D为BC的中点，
∴BD=2，
∴在△ABD中，利用余弦定理可得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=${3}^{2}+{2}^{2}-2×3×2×\frac{1}{2}$=7．
∴AD=$\sqrt{7}$…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．