Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用椭圆过点，以及离心率为，求出，即可得到椭圆方程．

（2）设直线方程为，则，求得，当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及，得到与的关系，代入直线的方程，即可求解．

（1）由题意，椭圆过点，即，解得，

由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，

则，所以，解得，

当直线斜率存在时，设直线方程为，

联立方程组，得，

设，则 （*），

则，

将*式代入化简可得：，即，整理得，

代入直线方程，得，

即，联立方程组，解得，

恒过定点.