Question

【题目】己知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）函数求导，讨论和两种情况即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的最小值点为，得，令，进而得，则由归纳可猜想当时，，利用数学归纳法可证得，于是，，则，从而利用裂项相消法可得证.

详解：（Ⅰ）函数的定义域为.

1、当时，，即在上为增函数；

2、当时，令得，即在上为增函数；

同理可得在上为减函数.

（Ⅱ）有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，

即，则，

令，

当时，，故在上是减函数

所以当时

∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）

则.由得，

从而.∵，∴.

猜想当时，.

下面用数学归纳法证明猜想正确.

1、当时，猜想正确.

2、假设时，猜想正确.

即时，.

当时，有，

由（Ⅰ）知是上的增函数，

则，即，

由得.

综合1、2得：对一切，猜想正确.

即时，.

于是，，则.

故