Question

【题目】如图，四棱锥 底面为正方形，已知 ，，点 为线段 上任意一点（不含端点），点 在线段 上，且 ．

（1）求证：；

（2）若 为线段 中点，求直线 与平面 所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）延长，交于点，由相似三角形的性质可知 ，从而得，利用线面平行的判定定理可得直线平面；（2）由于 ，， 两两垂直，所以，以为轴建立空间直角坐标系，设 ，求出相关点的坐标及直线 的方向向量，根据向量垂直数量积为零列方程组，求出平面 的一个法向量，空间向量夹角余弦公式，可求解 与平面 夹角的正弦值，进而可求余弦值.

试题解析：（1） 延长 ，交 于点 ，连接 ，

由相似知 ，可得：，

，，

则 ．

（2） 由于 ，， 两两垂直，

以 ，， 为 ，， 轴建立空间直角坐标系，

设 ，则 ，，，，，

则 ，平面 的法向量为 ，

设向量 与 的夹角为 ，则 ，

则 与平面 夹角的余弦值为 ．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.