Question

已知椭圆C1：

x2

8

+

y2

4

=1，F₁，F₂分别为椭圆C₁的左顶点和右顶点．以F₁，F₂为焦点作与椭圆C₁离心率相同的椭圆C₂．
（1）P为椭圆C₁上异于F₁，F₂的任意一点．设直线PF₁的斜率为k₁，直线PF₂的斜率为k₂．求证：k₁•k₂为定值；
（2）若直线PF₁交C₂于A，B两点，直线PF₂交C₂于C，D两点，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出椭圆C₂的方程，再求出直线PF₁、PF₂的斜率，利用P为椭圆C1：

x2

8

+

y2

4

=1上的点，化简即可得出结论．
（Ⅱ）直线PF₁的方程是y=k₁（x+2

2

），代入椭圆方程并整理，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．

解答： （1）证明：椭圆C1：

x2

8

+

y2

4

=1的左、右顶点为（±2

2

，0），离心率为

2

2

，
椭圆C₂中c=2

2

，离心率

c

a

=

2

2

，∴a=4，∴b=2

2

，
∴椭圆C₂的方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
设P（x₀，y₀），则

x02

8

+

y02

4

=1，
∴x02-8=-2y02．
∴k₁•k₂=

y0

x0+2 2

•

y0

x0-2 2

=

y02

x02-8

=-

1

2

；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PF₁的方程是y=k₁（x+2

2

），
代入椭圆方程并整理得（1+2k₁²）x²+8

2

k₁²x+16k₁²-16=0．
∴x₁+x₂=-

8 2 k12

1+2k12

，x₁x₂=

16k12-16

1+2k12

∴|AB|=

1+k12

•|x₁-x₂|=8-

8k12

1+2k12

①，
同理可得|CD|=8-

2

2

•

8 2 k22

1+2k22

②
∵k₁•k₂=-

1

2

，
∴|CD|=8-

4

1+2k12

③，
由①③可得|AB|+|CD|=8+8-4=12．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．