Question

如图示，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于C，若|BC|=2|BF|，且|AC|=5，求此抛物线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线l交抛物线准线于点C，|BC|=2|BF|，可得x₂=

p

6

，|BC|=2|BF|，且|AC|=5，可得x₁=5-

5p

2

，利用抛物线的性质x₁x₂═

p2

4

，建立关于p的方程，解之可得p，即得此抛物线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵直线l交抛物线准线于点C，|BC|=2|BF|，
∴x₂=

p

6

，
由抛物线的定义，得|AF|=

p

2

+x₁，
∵|BC|=2|BF|，且|AC|=5，
∴

p

2

+x₁+3（

p

2

+x₂）=5
∴x₁=5-

5p

2

，
由抛物线的性质，得x₁x₂=（5-

5p

2

）•

p

6

=

p2

4

，
解之得p=

5

4

，可得此抛物线的方程为y2=

5

2

x．

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．