Question

已知关于x的函数y=3x²+2（a-1）x+a²，-1≤x≤1，
（1）求此函数的最小值；
（2）若函数值的最小值为13，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的图象和性质，分析函数图象的开口方向和对称轴，进而

1-a

3

＜-1，即a＞4时，-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4时和

1-a

3

＞1，即a＜-2时，三种情况，可以分析出函数的最小值；
（2）根据已知中函数值的最小值为13，结合（1）中的三种情况分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）∵函数y=3x²+2（a-1）x+a²的图象是开口朝上，且以直线x=

1-a

3

为对称轴抛物线，
若

1-a

3

＜-1，即a＞4时，当x=-1时，函数取最小值a²-2a+5，
若-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4时，当x=

1-a

3

时，函数取最小值

2

3

a²+

2

3

a-

1

3

，
若

1-a

3

＞1，即a＜-2时，当x=1时，函数取最小值a²+2a+1；
（2）当

1-a

3

＜-1，即a＞4时，
若函数取最小值a²-2a+5=13，
解得a=-2，或a=4，均不满足条件；
当-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4时，
若函数取最小值

2

3

a²+

2

3

a-

1

3

=13，
解得a=4，或a=-5（舍去）；
当

1-a

3

＞1，即a＜-2时，
若函数取最小值a²+2a+1=13，
解得a=-1-

13

，或a=-1+

13

（舍去），
综上所述满足条件的a值为-1-

13

或4．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次函数在定区间上的最值问题，难度中档．