Question

设数列{a_n}共有n（n≥3，n∈N）项，且a₁=a_n=1，对每个i（1≤i≤n-1，i∈N），均有

ai+1

ai

∈{

1

2

，1，2}．
（1）当n=3时，写出满足条件的所有数列{a_n}（不必写出过程）；
（2）当n=8时，求满足条件的数列{a_n}的个数．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用新定义，可得a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2，即可得出结论；
（2）确定由符合上述条件的7项数列{b_n}可唯一确定一个符合条件的8项数列{a_n}，b_i （1≤i≤7）中有k个2；从而有k个

1

2

，7-2k个1．当k给定时，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

种，易得k的可能值只有0，1，2，3，即可得出结论．

解答： 解：（1）当n=3时，a₁=a₃=1．
因为

a2

a1

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，

a3

a2

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，
即a2∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，

1

a2

∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }，
所以a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2．
故此时满足条件的数列{a_n}共有3个：1 ，  

1

2

，  1； 1，1，1； 1，2，1．       …3分
（2）令b_i=

ai+1

ai

（1≤i≤7），则对每个符合条件的数列{a_n}，满足条件：b_i∈{ 

1

2

 ，  1 ，  2 }（1≤i≤7）．
反之，由符合上述条件的7项数列{b_n}可唯一确定一个符合条件的8项数列{a_n}．…7分
记符合条件的数列{b_n}的个数为N．
显然，b_i （1≤i≤7）中有k个2；从而有k个

1

2

，7-2k个1．
当k给定时，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

种，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故N=1+

C

1 7

C

1 6

+

C

2 7

C

2 5

+

C

3 7

C

3 4

=393．
因此，符合条件的数列{a_n}的个数为393．                                …10分．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．