Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为(1，

1

2

)，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率e=

1

2

，求出a，c，可求b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；

解答： 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：a+c=3，e=

c

a

=

1

2

，…（3分）
∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）．设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=

1

2

，
由

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，作差可得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…（9分）
∴kAB=

(y1-y2)

(x1-x2)

=

3(x1+x2)

-4(y1+y2)

=

3×2

-4×1

=-

3

2

，
直线l方程y-

1

2

=-

3

2

(x-1)
即3x+2y-4=0…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，凡涉及弦中点问题一般可考虑“平方差”法，即设出弦端点坐标，代入圆锥曲线方程作差，由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系．