Question

已知函数f（x）=x²-mx+m-1，若对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：导数的概念及应用

分析：由已知中对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立可得：在区间[2，

5

2

]内|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=|2x-m|≤1恒成立，进而可得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x²-mx+m-1，
∴f′（x）=2x-m，
若对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
即对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≤1
即在区间[2，

5

2

]内|2x-m|≤1恒成立
即

2x-m≤1 2x-m≥-1

在区间[2，

5

2

]上恒成立
∴即

m≥2x-1 m≤2x+1

在区间[2，

5

2

]上恒成立
∴4≤m≤5．
故实数m的取值范围为[4，5]．

点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，其中根据已知得到在区间[2，

5

2

]内|f′（x）|=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=|2x-m|≤1恒成立，是解答的关键．