Question

已知双曲线的方程为5x²-4y²=20两个焦点为F₁，F₂．
（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF₁|•|PF₂|=6，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（1）双曲线的方程为5x²-4y²=20可化为

x2

4

-

y2

5

=1，可得a=2，b=

5

，即可求双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=4，可得|PF₁|=a+2，|PF₂|=a-2，根据|PF₁|•|PF₂|=6，求出a，即可得出椭圆的方程．

解答： 解：（1）双曲线的方程为5x²-4y²=20可化为

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a=2，b=

5

，
∴c=

a2+b2

=3，
∴双曲线的焦点坐标（±3，0），渐近线方程为y=±

5

2

x；
（2）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则不妨设|PF₁|＞|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|=a+2，|PF₂|=a-2，
∵|PF₁|•|PF₂|=6，
∴（a+2）（a-2）=6，
∴a²=10，
∵c=3，
∴b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

10

+y2=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查椭圆方程，考查学生的计算能力，属于中档题．