Question

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，通过讨论x的范围与定义域的关系，求出递增区间和递减区间
（Ⅱ）通过构造函数g（x），利用导函数研究g（x）的单调性，利用函数的单调性，求出函数的最小值，即得整数k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=

1+ln(x+1)

x

知x∈（-1，0）∪（0，+∞）．
∴f′(x)=-

1+(x+1)ln(x+1)

x2(x+1)

，令h（x）=1+（x+1）ln（x+1）
则h′（x）=1+ln（x+1），令h′（x）=0，得x=

1

e

-1
易得h（x）在(-1，

1

e

-1)上递减，在(

1

e

-1，+∞)上递增．
∴h(x)min=h(

1

e

-1)=1-

1

e

＞0，∴f′（x）＜0
故f（x）的单调减区间为（-1，0），（0，+∞）．
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

对x＞0恒成立．
令g(x)=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

(x＞0)，需k＜g（x）_min即可．
g′(x)=-

1

x2

[1-x+ln(x+1)]．
令ϕ(x)=1-x+ln(x+1)(x＞0)⇒ϕ′(x)=-

x

x+1

＜0
∴ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，
又ϕ（2）=ln3-1＞0，ϕ（3）=2ln2-2＜0，
则存在实数t∈（2，3），使ϕ（t）=0，即t=1+ln（t+1）
∴g（x）在（0，t）上递减，在（t，+∞）上递增．
∴g(x)min=g(t)=

(t+1)[1+ln(t+1)]

t

=t+1∈(3，4)，
故k_max=3．

点评：本题考查利用导函数求函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值、通过构造函数证明不等式的数学思想方法在解题中的应用．