Question

已知B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．
（2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，可得

(x-1)2+y2

=1+x，化简可得点P（x，y）的轨迹C对应的方程．
（2）将A（m，2）代入y²=4x可求m=1，从而可得点A的坐标为（1，2），设直线DE的方程为x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，利用

AD

•

AE

=0，代入可求．

解答： 解：（1）∵B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，
∴

(x-1)2+y2

=1+x，
化简可得y²=4x；
（2）将A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴点A的坐标为（1，2）．
设直线DE的方程为x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）
∵AD⊥AE，∴

AD

•

AE

=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
代入化简可得t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0，
∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5，
∴直线DE过定点（5，-2）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了直线系方程的运用，考查直线过定点，是有一定难度题目．