Question

已知函数f（x）=x²-（-1）^k•2lnx（k∈N^*）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当k是偶数时，正项数列{a_n}满足a1=1，f′(an)=

a 2 n+1 -3

an

．
①求数列{a_n}的通项公式；
②若bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，记S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：S_n＜1．
（3）当k是奇数时，是否存在实数b，使得方程f(x)=

3

2

x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根？若存在，求出b的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，求出导函数，讨论当k为奇数时，当k为偶数时两种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，得到2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，从而{

a

2 n

+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式写出数列{a_n}的通项公式；
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，下面利用拆项法求S_n并化简，从而得出证明．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根．再利用其等价于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在区间（0，2]上恰有两个相异实根．求出b的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）由已知得x＞0，且f′(x)=2x-(-1)k•

2

x

当k为奇数时，则f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k为偶数时，则f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

2

，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数．故当k为偶数时，f（x）在（0，1）是减函数，在（1，+∞）是增函数；…（5分）
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，即2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，而

a

2 1

+1=2≠0
所以{

a

2 n

+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故

a

2 n

+1=2•2n-1=2n，而{a_n}是正项数列，从而可得an=

2n-1

．                           …（7分）
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1…（10分）
（3）当k为奇数时，f（x）=x²+2lnx，假设存在实数b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根．等价于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在区间（0，2]上恰有两个相异实根．令h(x)=2lnx-

1

2

x2-x-b，
则h′(x)=

2

x

-x-1=

-x2-x+2

x

=

-(x+2)(x-1)

x

，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，当x∈（1，2]时，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2]上是减函数
所以要使方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在区间（0，2]上恰有两个相异实根，等价于

h(1)=- 3 2 -b＞0 h(2)=2ln2-4-b≤0

⇒2ln2-4≤b＜-

3

2

故存在实数b，当b∈[2ln2-4，-

3

2

)时，方程f(x)=

3

2

x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根．                                           …（13分）

点评：本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．