【题目】设函数 (
为常数,
是自然对数的底数).
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数在
内存在两个极值点,求
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为
单调递增区间为
;(2)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出导函数,根据导函数的正负性,求出函数的单调区间;
(Ⅱ)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,等价于它的导函数f′(x)在(0,2)内有两个不同的零点.
试题解析:(1).函数的定义域为
由可得
,
所以当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增;
所以的单调递减区间为
单调递增区间为
.
(2).由1知,时,函数
在
内单调递减,
故在
内不存在极值点;
当时,设函数
,
,
因为,
当时,当
时,
,
单调递增;
故在
内不存在两个极值点;
当时,得
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增;
所以函数的最小值为
,
函数在
内存在两个极值点,
当且仅当,解得
.
综上所述,函数在
内存在两个极值点时,
的取值范围为
.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅲ)当时,函数
在
上的最大值为
,若存在
,使得
成立,求实数b的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设函数,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知是两条不重合的直线,
是两个不重合的平面,给出下列命题:
①若,
,则
;
②若,
,
,则
;
③若,
,
,则
;
④当,且
时,若
,则
.
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】读下列所给程序,依据程序画出程序框图,并说明其功能.
INPUT “输入三个正数a,b,c=”;a,b,c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
p=(a+b+c)/2
S=SQR(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
PRINT “三角形的面积S=”S
ELSE
PRINT “构不成三角形”
END IF
END.
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=
.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
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【题目】已知菱形中,对角线
与
相交于一点
,
,将
沿着
折起得
,连接
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在平面
上的投影恰好是
的重心,求直线
与底面
所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,
,函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值;
(3)设斜率为的直线与函数
的图象交于两点
,
,
,证明:
.
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