Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），当且仅当x=1，x=-1 时，f（x）取得极值，并且极大值比极小值大c．
（1）求常数a，b，c的值；
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数在两个极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值；再结合极大值比极小值大c即可求出c的值；
（2）直接根据第一问中求出的结论代入即可．

解答：解：（1）因为f'（x）=3x²+2ax+b；
∵当x=-1和x=1时，f（x）取得极值，
∴f′（-1）=0，f′（1）=0，
∴

3-2a+b=0 3+2a+b=0

⇒

a=0 b=-3

．
∴f′（x）=3（x²-1）=3（x+1）（x-1）．
∴当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0；原函数递增；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0函数递减．
∴函数极大值为：f（-1）=-1-b+c，极小值为：f（1）=1+b+c
∴（-1-b+c）-（1+b+c）=c⇒c=4．
（2）∵f（x）=x³-3x+4．
∴函数极大值为f（-1）=6；极小值为：f（1）=2．

点评：求函数的极值，一般求出函数的导数，求出导函数大于0的x范围及导函数小于0的x的范围，列出x，f′（x），f（x0的情况变化表从而得到函数的极值；注意函数在极值点处的导数值为0．