Question

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=（

2

，-1）共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使

OP

•

OQ

＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：

分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由A（a，0）、B（0，b），知

AB

=（-a，b），由

AB

与

n

=（

2

，-1）共线，知a=

2

b，由此能求出椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=（-a，b），
∵

AB

与

n

=（

2

，-1）共线，
∴a=

2

b，
∵焦距为2，
∴c=1，
∴a²-b²=1，
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                
∵

OP

•

OQ

＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，
∵y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

2k2+1

，
∴

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

＜0，
∴m²＜

2

3

k2+

2

3

，
∴m²＜

2

3

且满足（*）     
故实数m的取值范围是（-

6

3

，

6

3

）．

点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考查实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．属于中档题．