Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱D₁C₁的中点，则异面直线D₁B、EC的夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=2．利用$cos＜\overrightarrow{B{D}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}$即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2．
D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，2），D₁=（0，0，2）．
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{B{D}_{1}}，\overrightarrow{CE}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{2+4}{\sqrt{12}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴异面直线D₁B、EC的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与就你死了，属于基础题．