Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时， ，

由于f（x）≥2，

则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤ ；

②当1≤x≤1时，1≥2，无解；

③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥ ．

综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（2）解：令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则 ，

所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，

只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）

【解析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，
得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对绝对值不等式的解法的理解，了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．