Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．

（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（2）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．

（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），

∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），

设异面直线PB与CD所成角为θ，

则cosθ=,

所以异面直线PB与CD所成角大小为 ．

（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），

则，取x=1，得=（1，0，1），

∴点D到平面PBC的距离d=．