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    【题目】试证明：集合满足

    （1）对每个及，若，则一定不是的倍数；

    （2）对每个（表示在中的补集），且，必存在，，使是的倍数.

    【答案】（1）见解析（2）见解析

    【解析】

    （1）对任意，设.则.

    若是任意一个小于的正整数，则.

    由于与中，一个为奇数，它不含质因子2，另一个为偶数，它含质因子2的幂的次数最多为，因此，一定不是的倍数.

    （2）若，且，设，其中，，为大于1的奇数.

    则.

    下面给出三种证明方法.

    方法1 令，.

    消去得.

    由，知方程必有整数解

    其中，，为方程的特解.

    记最小的正整数解为.则.

    故，使得是的倍数.

    方法2 注意到，，由中国剩余定理，知同余方程组

    在区间上有解，即存在，使得是的倍数.

    方法3 由，总存在，使得.

    取，使得.则.

    存在，使得.

    此时，.

    从而是的倍数.

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