Question

10．设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2016，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x则f（2016）=2015+2²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，②-①可推得f（x+6）-f（x+2）≥15•2^x+2，可化为f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，可得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，两式相加可得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，由③④可推得恒等式，由此可求得答案．

解答 解：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，
②-①，得f（x+6）-f（x+2）≥60•2^x=15•2^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，
由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，
两式相加，得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，
由①④，得f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（2016）=f（2012）+15•2²⁰¹²
=f（2008）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁸
=…
=f（0）+15•2²⁰¹²+15•2²⁰⁰⁸+…+15•2⁴+15•2⁰
=2016+15•$\frac{1-{16}^{504}}{1-16}$=2015+2²⁰¹⁶，
故答案为：2015+2²⁰¹⁶

点评 本题考查抽象函数，函数单调性的性质及其应用，考查函数的求值，解决该题的关键是由不等式变出恒等式，体现转化思想