Question

1．设α，β∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，且满足sinαcosβ+cosαsinβ=1．
（1）求sinα+sinβ的取值范围；
（2）若向量$\overrightarrow{OP}$=λ（sinα，sinβ），将向量$\overrightarrow{OP}$按逆时针方向旋转45度后，得到向量$\overrightarrow{OQ}$=（-$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$），求tan2β的值．

Answer 1

分析 （1）先利用正弦的两角和公式化简已知等式求得α+β=$\frac{π}{2}$，把sinβ转换为cosα，利用两角和公式化简，根据α的范围求得sinα+sinβ的范围．
（2）设$\overrightarrow{OP}$=λ（cosθ，sinθ），则cosθ=sinα，sinθ=sinβ，将 $\overrightarrow{OP}$逆时针方向旋转45°得到的向量 $\overrightarrow{OQ}$，夹角为45°，即可利用向量的数量积计算得到tanβ，由二倍角公式即可得解．

解答 解：（1）∵sinαcosβ+sinβcosα=sin（α+β）=1，α、β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴α+β=$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$≤β=$\frac{π}{2}$-α≤$\frac{π}{2}$，
判断出$\frac{π}{2}$≥α≥0，
sinα+sinβ=sinα+cosα=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
故sinα+sinβ的取值范围是：[1，$\sqrt{2}$]．
（2）设$\overrightarrow{OP}$=λ（cosθ，sinθ），
则cosθ=sinα，sinθ=sinβ，
∵向量$\overrightarrow{OP}$绕点逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得向量$\overrightarrow{OQ}$，
设Q（x，y），则x=λcos（θ+$\frac{π}{4}$）=λ（cosθcos$\frac{π}{4}$-sinθsin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$（sinα-sinβ）=-$\sqrt{2}$，①
y=λsin（θ+$\frac{π}{4}$）=λ（sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ（sinβ+sinα）=-7$\sqrt{2}$，②
∴$\frac{①}{②}$得到$\frac{sinα-sinβ}{sinα+sinβ}$=$\frac{1}{7}$，
∵由（1）可得α+β=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{cosβ-sinβ}{cosβ+sinβ}$=$\frac{1}{7}$，可得tanβ=$\frac{3}{4}$，
∴tan2β=$\frac{2tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了向量数量积的定义和坐标表示，考查运算能力，求出α和β互余是解题的关键．属于中档题．