Question

6．已知函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（其中a为常数且a＞0，且a≠1）．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）-m＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是奇函数；
（2）将不等式转化为f（x）＜m，转化为求函数的f（x）的最大值即可．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x），
即f（x）是奇函数；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）-m＜0恒成立，
即m＞f（x）恒成立，
若a＞1，则a²-1＞0，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，此时函数f（x）在x∈[-1，1]上为增函数，
若0＜a＜1，则a²-1＜0，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，此时函数f（x）在x∈[-1，1]上为增函数，
综上函数f（x）在x∈[-1，1]上为增函数，
则当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a¹-a^-1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2}-1}{a}$=1，
则m＞1．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用参数分类法是解决本题的关键不等式恒成立的常用方法．