Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin$\frac{x}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1-2sin²$\frac{x}{4}$，cosx），（其中x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求x的取值的集合；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t，当x∈[0，π]是函数f（x）有两个零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直的性质，可得sin（x-$\frac{π}{3}$）=0，从而求得x的取值的集合．
（2）由平面向量数量积的运算求得f（x），根据自变量的范围，确定函数的零点，即求f（x）=0的根，进一步求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴2sin$\frac{x}{2}$（1-2sin²$\frac{x}{4}$）-$\sqrt{3}$cosx=0，
⇒sinx-$\sqrt{3}$cosx=0，
⇒sin（x-$\frac{π}{3}$）=0，
∴解得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（2）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t=2sin$\frac{x}{2}$（1-2sin²$\frac{x}{4}$）-$\sqrt{3}$cosx-2t
=2sin（x-$\frac{π}{3}$）-2t，
∵在x∈[0，π]时，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t有两个零点
∴f（x）=0有两个实数根，即函数图象有两个交点．
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=t在[0，π]上有两个根，
∵x∈[0，π]，
∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴t∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

点评 本题重点考查知识点：三角函数的解析式的求法，以及在某一定义域下利用函数的零点求参数的取值范围问题．是很好的高考题型，属于中档题．