Question

10．设n≥2，若a_n是（1+x）ⁿ展开式中含x²的系数，则$\lim_{n→∞}$（${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{a_n}}）$）=2．

Answer 1

分析 根据题意，求出a_n=$\frac{1}{2}$n（n-1），再利用裂项法求${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{a_n}}）$的值，从而求出它的极限值．

解答 解：∵a_n是（1+x）ⁿ展开式中含x²的系数，
∴a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}$n（n-1），n≥2；
∴$\lim_{n→∞}$（${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{a_n}}）$）=$\lim_{n→∞}$（$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+…+$\frac{2}{（n-1）n}$）
=$\lim_{n→∞}$2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]
=$\lim_{n→∞}$2（1-$\frac{1}{n}$）
=2-2$\lim_{n→∞}$$\frac{1}{n}$
=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目．