[题目]一个几何体的三视图如图所示.若该几何体的外接球表面积为.则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

先将几何体还原得四棱锥P-ABCD，做底面中心的垂线，通过列方程找到球心的位置，进而再求四棱锥的高，从而可得体积.

由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC垂直于底面ABCD，为等腰三角形.

设BC的中点为F，四边形ABCD的中心为点H，连接PF,FH，过点H作平面ABCD的垂线，则球心在该直线上，即为点O，过点O作于点E，连接OP.

设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R，由其表面积为，得，解得.

设OH=x，则在直角三角形OHB中，有，解得.

在直角三角形POE中，，所以，解得.（负值已舍去）

所以PF=PE+EF=2.

所以四棱锥P-ABCD的体积.

故选B.

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