Question

已知函数f(x)=2x+

a

x

的定义域为（0，2]（a为常数）．
（1）证明：当a≥8时，函数y=f（x）在定义域上是减函数；
（2）求函数y=f（x）在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义证明函数y=f（x）在定义域上是减函数：先设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]再比较f（x₁）与f（x₂）的大小即得f（x）是减函数；
（2）先对字母a分类讨论：①当a=0，②当a＜0时，③当a＞0且

a 2

≤2即0＜a≤8时，④当a＞0且

a 2

＞2即a＞8时，分别求出函数的最大值及求出函数取最值时x的值即可．

解答：解：（1）x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(2x1x2-a)

x1x2

因为x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]
所以x₁-x₂＜0，2x₁x₂＜8≤a，2x₁x₂-a＜0f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是减函数
（2）①当a=0，f（x）=x，f（x）是增函数
所以x=2，max=f(2)=4+

a

2

，无最小值
②当a＜0时，f（x）是增函数
所以x=2，fmax=f(2)=4+

a

2

，无最小值
③当a＞0且

a 2

≤2即0＜a≤8时，所以x=

a 2

，min=2

2a

，无最大值
④当a＞0且

a 2

＞2即a＞8时
所以x=2，min=4+

a

2

，无最大值

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．