Question

10．已知x＜-2，求函数y=$\frac{2{x}^{2}+4x+1}{x+2}$的最值．

Answer 1

分析 换元，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设x+2=t（t＜0），则x=t-2，
∴y=$\frac{2{x}^{2}+4x+1}{x+2}$=$\frac{2{t}^{2}-4t+1}{t}$=2t+$\frac{1}{t}$-4≤-2$\sqrt{（-2t）•（-\frac{1}{t}）}$-4=-2$\sqrt{2}$-4，
当且仅当2t=$\frac{1}{t}$，t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=-2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数y=$\frac{2{x}^{2}+4x+1}{x+2}$的最大值为-2$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查函数的最大值，考查换元法，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．