Question

18．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a=6，A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于9$\sqrt{3}$，求b，c；
（Ⅱ）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，又△ABC的面积等于9$\sqrt{3}$，得bc=36．联立方程组即可解得b，c．
（Ⅱ）由题意化简可得：sinBcosC=2sinCcosC，分类讨论cosC的值，解得b，c，利用面积公式即可得解．

解答 （本题共计8分）
 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，b²+c²-bc=36，…（1分）
又因为△ABC的面积等于9$\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{2}$bcsinA=9$\sqrt{3}$，得bc=36．…（2分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+{c}^{2}-bc=36}\\{bc=36}\end{array}\right.$，解得b=6，c=6．…（4分）
（Ⅱ）由题意得sin（B+C）+sin（B-C）=4sinCcosC，
即sinBcosC=2sinCcosC，…（5分）
当cosC=0时，C=$\frac{π}{2}$，B=$\frac{π}{6}$，b=2$\sqrt{3}$，c=4$\sqrt{3}$，…（6分）
当cosC≠0时，得sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+{c}^{2}-bc=36}\\{b=2c}\end{array}\right.$，解得b=4$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$．…（7分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=6$\sqrt{3}$．…（8分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基本知识的考查．