Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＞0$成立，则不等式x•f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函数的导数，判断函数g（x）的单调性，将不等式进行转化即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则g′（x）=[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，即x＞0时 $\frac{f（x）}{x}$是增函数，
当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，此时f（x）＞0；
0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，此时f（x）＜0．
又f（x）是奇函数，所以-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1时f（x）=-f（-x）＜0．
则不等式x•f（x）＞0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$，
即x＞1或x＜-1，
则不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故选：A

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．构造函数函数解决本题的关键．