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    16．已知椭圆：C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线：x=2．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于P，Q两点．
    ①若PQ=$\sqrt{6}$，求圆D的方程；
    ②若M是l上的动点，求证：P在定圆上，并求该定圆的方程．

    分析 （1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，解方程可求a，c利用b2=a2-c2，可求b，即可求解椭圆C的方程；
    （2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知PQ=6，可求t，进而可求圆D的方程；
    ②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断．

    解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
    解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
    即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
    则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1；
    （2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
    圆心D（1，$\frac{1}{2}$t），半径为$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}}$，
    则圆D的方程：（x-1）2+（y-$\frac{1}{2}$t）2=1+$\frac{1}{4}$t2，
    直线PQ的斜率为-$\frac{2}{t}$，
    则直线方程：2x+ty-2=0，
    ∴由弦长公式可得，2$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}-（\frac{|2+\frac{1}{2}{t}^{2}-2|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
    ∴t2=4，t=±2．
    ∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2；
    ②证明：设P（x1，y1），
    由①知：$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-1）^{2}+（{y}_{1}-\frac{1}{2}t）^{2}=1+\frac{1}{4}{t}^{2}}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
    即：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-t{y}_{1}=0}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
    消去t得：x12+y12=2，
    ∴点P在定圆x2+y2=2上．

    点评 本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算能力．

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