Question

5．若O为△ABC所在平面内一点，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△OAB和△ABC的面积之比为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 延长CO交AB于M，从而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}$，根据条件可得到$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$，从而可以得到$\overrightarrow{OM}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$．而根据A，M，B三点共线便可得出$\overrightarrow{OM}=（1-μ）\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，这样由平向量基本定理即可得到$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1$，求出λ=1，这说明O为CM的中点，从而便可得出△OAB和△ABC的面积之比为$\frac{1}{2}$．

解答 解：如图，延长CO，设交AB于M；
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+7\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得：$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$；
C，O，M三点共线；
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$；
A，M，B三点共线；
∴$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=μ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OM}=（1-μ）\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
∴由平面向量基本定理得：$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1-μ+μ=1$；
∴λ=1；
即$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{CO}$；
∴O为CM中点；
∴$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{1}{2}$；
∴△OAB和△ABC的面积之比为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，三角形的面积计算公式，向量相等的概念，可记住：当A，B，C三点共线时，$\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}$，则x+y=1．