Question

12．若关于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [0，2]
• C． [-2，2]
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得-m=x³-3x，x∈[0，2]，利用导数判断函数在[0，1]上增，在[1，2]上减，由此求得函数-m在[0，2]上的值域，从而求得m的范围．

解答 解：由题意可知方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，则函数-m=x³-3x，x∈[0，2]．
求出此函数的值域，即可得到实数m的取值范围．
令y=x³-3x，x∈[0，2]，则 y'=3x²-3，
令y'＞0，解得x＞1，故此函数在[0，1]上减，在[1，2]上增，
又当x=1，y=-2； 当x=2，y=2； 当x=0，y=0．
∴函数y=x³-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2]，
故-m∈[-2，2]，∴m∈[-2，2]，
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、函数的单调性等性质的合理运用．