Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，则满足$\frac{a_n}{n}≤2$的正整数n的集合为（　　）

• A． {1，2}
• B． {1，2，3，4}
• C． {1，2，3}
• D． {1，2，4}

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1，利用等比数列的不等式可得a_n=2^n-1，不等式$\frac{a_n}{n}≤2$即2^n-2≤n，即可得出．

解答 解：数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
∴a_n=2^n-1，
不等式$\frac{a_n}{n}≤2$即2^n-2≤n，
当n=1，2，3，4时，满足上述不等式．
n≥5时，上述不等式不成立．
∴满足$\frac{a_n}{n}≤2$的正整数n的集合为{1，2，3，4}．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．