Question

18．已知函数$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$与g（x）=cos（2x+φ）$（0≤φ＜\frac{π}{2}）$，它们的图象有一个横坐标为$\frac{π}{6}$的交点．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}（ω＞0）$倍，得到h（x）的图象，若h（x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（$\frac{π}{6}$）=g（$\frac{π}{6}$），求得φ的值．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$与g（x）=cos（2x+φ）$（0≤φ＜\frac{π}{2}）$，它们的图象有一个横坐标为$\frac{π}{6}$的交点，
∴sin$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$=cos（$\frac{π}{3}$+φ），即 cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）将函数$f（x）=sinx-\frac{1}{2}$的图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}（ω＞0）$倍，得到h（x）=sin（ωx）-$\frac{1}{2}$的图象，
若h（x）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）-$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得h（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．