Question

3．已知函数f（x），φ（x）满足关系φ（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常数）．
（1）如果α=1，f（x）=2^x-1，求函数φ（x）的值域；
（2）如果α=$\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，且对任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值；
（3）如果f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），求函数φ（x）的最小正周期（只需写出结论）．

Answer 1

分析 （1）因为α=1，f（x）=2^x-1，可得φ（x）=（2^x-1）（2^x+1-1）=2•（2^x）²-3•2^x+1，令t=2^x（t＞0），所以也就是求函数y=2t²-3t+1（t＞0）的值域，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）因为$α=\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，可得$φ（x）=sinx•sin（x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}sin2x$，因为对任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，所以φ（x₁），φ（x₂）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，所以|x₁-x₂|的最小值就是函数φ（x）的半周期，即可得出．
（3）T=$\frac{π}{ω}$．

解答 解：（1）因为α=1，f（x）=2^x-1，
所以φ（x）=（2^x-1）（2^x+1-1）=2•（2^x）²-3•2^x+1，
令t=2^x（t＞0），所以也就是求函数y=2t²-3t+1（t＞0）的值域，
所以φ（x）的值域为$[-\frac{1}{8}，+∞）$．…（3分）
（2）因为$α=\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，
所以$φ（x）=sinx•sin（x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}sin2x$，
因为对任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，
所以φ（x₁），φ（x₂）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，
所以|x₁-x₂|的最小值就是函数φ（x）的半周期，
也就是|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．…（7分）
（3）T=$\frac{π}{ω}$．…（9分）

点评 本题考查了抽象函数的周期性单调性与值域、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．