Question

14．将函数f（x）=2sinxcosx的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若f（x₁）g（x₂）=2，则|2x₁+x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意求得f（x）、g（x）的解析式，由f（x₁）g（x₂）=2，求得sin2x₁=1，且sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）+1=2，即 2x₁=2 kπ+$\frac{π}{2}$，x₂=nπ+$\frac{π}{6}$，从而求得|2x₁+x₂|的最小值．

解答 解：将函数f（x）=2sinxcosx=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再向上平移1个单位，得到g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的图象．
若f（x₁）g（x₂）=2，则f（x₁）=1，且g（x₂）=2，sin2x₁=1，且sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）+1=2，
即2x₁=2kπ+$\frac{π}{2}$，2x₂+$\frac{π}{6}$=2nπ+$\frac{π}{2}$，k、n∈Z，
即 2x₁=2 kπ+$\frac{π}{2}$，x₂=nπ+$\frac{π}{6}$，
∴|2x₁+x₂|的最小值为|$\frac{π}{2}$-$\frac{5π}{6}$|=$\frac{π}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数图象的变换，三角函数的图象和性质，难度中档．