Question

2．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2）=0，若f（lnx）＞0，则x的取值范围是$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$．

Answer 1

分析 根据题意、偶函数的单调性等价转化不等式，由对数函数的单调性求出解集．

解答 解：∵f（2）=0，f（lnx）＞0，
∴f（lnx）＞f（2），
∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴f（lnx）＞f（2）等价于|lnx|＜2，
则-2＜lnx＜2，即lne^-2＜lnx＜lne²，
解得$\frac{1}{{e}^{2}}＜x＜{e}^{2}$，
∴不等式的解集是$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$，
故答案为：$（\frac{1}{{e}^{2}}，{e}^{2}）$．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，以及对数函数的单调性，考查转化思想，化简、变形能力．