Question

11．抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点H（3，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于点A，B和点C，D，其中点A，C在x轴上方．
（Ⅰ）若点C的坐标为（2，2），求△ABC的面积；
（Ⅱ）若p=2，直线BC过点F，求直线CD的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点C（2，2）在抛物线E上，可得4=4p，解得p，可得抛物线E的方程为y²=2x．由AB⊥CD，可得k_AB•k_CD=-1，解得k_AB，由直线AB过点H（3，0），可得直线AB方程为y=$\frac{1}{2}$（x-3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线方程联立化简得y²-4y-6=0；可得|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，|CH|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|CH|．
（Ⅱ）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则$\overrightarrow{HB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{HC}$=（x₃-3，y₃），利用AB⊥CD，可得$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{HC}$=x₂x₃-3（x₂+x₃）+9+y₂y₃=0．根据直线BC过焦点F（1，0），且直线BC不与x轴平行，设直线BC的方程为x=ty+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵点C（2，2）在抛物线E上，∴4=4p，p=1，
∴抛物线E的方程为y²=2x，
∵k_CD=$\frac{2-0}{2-3}$=-2，且AB⊥CD，∴k_AB•k_CD=-1，
∴k_AB=$\frac{1}{2}$，
又∵直线AB过点H（3，0），∴直线AB方程为y=$\frac{1}{2}$（x-3），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）}\end{array}\right.$，化简得y²-4y-6=0；所以△=40＞0，且y₁+y₂=4，y₁•y₂=-6，
此时|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=10$\sqrt{2}$，|CH|=$\sqrt{（2-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|CH|=$\frac{1}{2}×10\sqrt{2}×\sqrt{5}$=5$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则$\overrightarrow{HB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{HC}$=（x₃-3，y₃），
∵AB⊥CD，
∴$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{HC}$=（x₂-3）（x₃-3）+y₂y₃=x₂x₃-3（x₂+x₃）+9+y₂y₃=0，（1）
∵直线BC过焦点F（1，0），且直线BC不与x轴平行，
∴设直线BC的方程为x=ty+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0，△=16t²+16＞0，且y₂+y₃=4t，y₂•y₃=-4，（2）
∴x₂+x₃=ty₂+1+ty₃+1=t（y₂+y₃）+2=4t²+2，x₂•x₃=$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}•\frac{{y}_{3}^{2}}{4}$=$\frac{（{y}_{2}{y}_{3}）^{2}}{16}$=1．
代入（1）式得：1-3（4t²+2）+9-4=0，解得t=0，
代入（2）式解得：y₂=-2，y₃=2，此时x₂=x₃=1；∴C（1，2），
∴k_CD=$\frac{2-3}{1-0}$=-1，
∴直线CD的方程为y=-x+3．

点评 本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．