Question

15．设直线3x+4y-5=0与圆C₁：x²+y²=9交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧AB上，则圆C₂半径的最大值是2．

Answer 1

分析 先根据圆C₁的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C₂的半径的最大时的情况：当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C₂的半径最大值．

解答 解：由圆C₁：x²+y²=9，可得圆心O（0，0），半径R=3
如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．
则两圆心之间的距离OQ=d=$\frac{5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=1$．
因为两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=3-d=3-1=2
故答案为：2

点评 此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．